El otro día, a consecuencia del artículo de Vanna y Volga, recibí un comentario de Pedro Enrique Blanque Amorós diciéndome que podría hacer un "ejemplito" numérico que haría más visibles las fórmulas.... y la verdad es que me gustó mucho el comentario, yo también soy de ponerle números a las cosas para "aterrizarlas", y ya que me pongo... pues voy a hacer todas las sensibilidades.
En primer lugar un pongo una imagen de un excel que es una calculadora de opciones con todos los cálculos (Black-Scholes), por si alguno quiere replicar los ejemplos que vamos a ver a continuación. Al utilizar entorno de valoración Black-Scholes-Merton, está claro que son opciones europeas.
Delta: Mide el cambio en el precio de la opción (Prima) ante cambios en el activo subyacente.
Gamma: Mide cuánto varía Delta antes cambios en el activo subyacente.
Theta: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en el tiempo. El paso de un día.
Vega: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en la volatilidad de un 1%.
Rho: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en los tipos de interés.
Volga: Mide cuánto varia Vega ante cambios en la volatilidad implícita.
Como podéis apreciar en el cuadro anterior tenemos el activo subyacente en 100 y el precio de ejercicio es también 100. Quedan 60 días al vencimiento (0,16 años, que es lo que utiliza la fórmula), la volatilidad es del 20% y los tipos de interés en el 1,1% y dividendos están en el 1%.
Si sube el activo subyacente a 101.
La prima de un Call pasa de valer 3,259 a 3,800, es decir una diferencia de 0,54. Ya que delta es la primera derivada (pendiente) y gamma es la segunda derivada (convexidad), no sólo podemos tener en cuenta delta, ya que estaremos cometiendo un pequeño error de convexidad.
Si la prima de Call le añadimos Delta x movimiento+(Gamma x movimiento^2)/2 es decir, 3,259+(0,516x1)+(0,049x1^2)/2=3,800.
La delta pasa de valer a 100 0,516 a valer 0,564 en 101 (la diferencia son esos 0,049 aprox, ya que hay redondeos)
La gamma varía ligeramente, pero también hay cambios en el resto de sensibilidades.
Si pasa un día
La prima del Call pasa de 3,259 a 3,232 es decir un -0,027€ euros menos, que es exactamente la Theta que tenemos en la imagen superior. Habitualmente viene expresada ya en euros. Como en el caso anterior, también varían el resto de sensibilidades.
Si aumenta o disminuye la volatilidad implícita un 1%
En este caso, hace falta aplicarle la tasa de cambio. Si sube la volatilidad al 21% el precio de la opción varía de 3,259 a 3,422 cuyo cambio son los 16,245 que nos indica Vega multiplicados por 0,01 (1%).
Por otro lado, Vega varía de 16,245 a 16,243, realmente, teniendo en cuenta algunos decimales más de 16,244697 a 16,243312, es decir que ha variado -0,001384 que es precisamente Volga multiplicado por 0,01.
Delta también ha variado de 0,516 a 0,517, nuevamente si utilizamos más decimales de 0,5162347 a 0,5170082, ha variado 0,00077, que es Vanna multiplicado por 0,01
Si aumenta o disminuye los ti en 1%
En este caso, al igual que en anterior, hay que aplicar el cambio. La opción pasa de valer 3,259 a 3,34, un 0,0812 que el valor que teníamos de Rho multiplicado por 0,01.
Espero que os sirva. El artículo es un "pelín" más denso de lo que suelo hacer, pero efectivamente la única manera de aterrizar las sensibilidades es cogiendo la hoja de cálculo e ir variando parámetros y estudiar sus efectos. Por esta razón, recomiendo intentéis replicar en vuestro excel la imagen que os pongo en este artículo.
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