jueves, 26 de marzo de 2015

Ejemplo Numérico Sensibilidades

Hola a todos,

El otro día, a consecuencia del artículo de Vanna y Volga, recibí un comentario de Pedro Enrique Blanque Amorós diciéndome que podría hacer un "ejemplito" numérico que haría más visibles las fórmulas.... y la verdad es que me gustó mucho el comentario, yo también soy de ponerle números a las cosas para "aterrizarlas", y ya que me pongo... pues voy a hacer todas las sensibilidades.

En primer lugar un pongo una imagen de un excel que es una calculadora de opciones con todos los cálculos (Black-Scholes), por si alguno quiere replicar los ejemplos que vamos a ver a continuación. Al utilizar entorno de valoración Black-Scholes-Merton, está claro que son opciones europeas.


Delta: Mide el cambio en el precio de la opción (Prima) ante cambios en el activo subyacente.
Gamma: Mide cuánto varía Delta antes cambios en el activo subyacente.
Theta: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en el tiempo. El paso de un día.
Vega: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en la volatilidad de un 1%.
Rho: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en los tipos de interés.
Volga: Mide cuánto varia Vega ante cambios en la volatilidad implícita.
Vanna: Mide cuánto varía Vega ante variaciones en el activo subyacente o delta ante cambios en la volatilidad implícita.

Como podéis apreciar en el cuadro anterior tenemos el activo subyacente en 100 y el precio de ejercicio es también 100. Quedan 60 días al vencimiento (0,16 años, que es lo que utiliza la fórmula), la volatilidad es del 20% y los tipos de interés en el 1,1% y dividendos están en el 1%.

Si sube el activo subyacente a 101.

La prima de un Call pasa de valer 3,259 a 3,800, es decir una diferencia de 0,54. Ya que delta es la primera derivada (pendiente) y gamma es la segunda derivada (convexidad), no sólo podemos tener en cuenta delta, ya que estaremos cometiendo un pequeño error de convexidad.
Si la prima de Call le añadimos Delta x movimiento+(Gamma x movimiento^2)/2 es decir, 3,259+(0,516x1)+(0,049x1^2)/2=3,800.
La delta pasa de valer a 100 0,516 a valer 0,564 en 101 (la diferencia son esos 0,049 aprox, ya que hay redondeos)
La gamma varía ligeramente, pero también hay cambios en el resto de sensibilidades.

Si pasa un día

La prima del Call pasa de 3,259 a 3,232 es decir un -0,027€ euros menos, que es exactamente la Theta que tenemos en la imagen superior. Habitualmente viene expresada ya en euros. Como en el caso anterior, también varían el resto de sensibilidades.

Si aumenta o disminuye la volatilidad implícita un 1%

En este caso, hace falta aplicarle la tasa de cambio. Si sube la volatilidad al 21% el precio de la opción varía de 3,259 a 3,422 cuyo cambio son los 16,245 que nos indica Vega multiplicados por 0,01 (1%).

Por otro lado, Vega varía de 16,245 a 16,243, realmente, teniendo en cuenta algunos decimales más de 16,244697 a 16,243312, es decir que ha variado -0,001384 que es precisamente Volga multiplicado por 0,01.

Delta también ha variado de 0,516 a 0,517, nuevamente si utilizamos más decimales de 0,5162347 a 0,5170082, ha variado 0,00077, que es Vanna multiplicado por 0,01

Si aumenta o disminuye los ti en 1%

En este caso, al igual que en anterior, hay que aplicar el cambio. La opción pasa de valer 3,259 a 3,34, un 0,0812 que el valor que teníamos de Rho multiplicado por 0,01.


Espero que os sirva. El artículo es un "pelín" más denso de lo que suelo hacer, pero efectivamente la única manera de aterrizar las sensibilidades es cogiendo la hoja de cálculo e ir variando parámetros y estudiar sus efectos. Por esta razón, recomiendo intentéis replicar en vuestro excel la imagen que os pongo en este artículo.


martes, 17 de marzo de 2015

Vanna y Volga

Vamos a introducir dos sensibilidades de opciones que por ser más específicas de posiciones en volatilidad y skew, no suelen ser tan conocidas como: Delta, Gamma, Vega, Theta y Rho, pero que resultan de utilidad.

Volga y Vanna, aunque parezcan los nombres de letras griegas, en realidad no lo son, al igual que Vega que no es una letra del alfabeto griego clásico. Por eso a mi me gusta utilizar el término sensibilidades, no griegas.

Volga

Es la gamma de la volatilidad (VOLatility GAmma). Expresa los cambios en Vega ante cambios en la volatilidad implícita.


Es muy elevada para opciones que están fuera del dinero (aproximadamente Delta 10%). Ver gráfico 1.

Gráfico 1: Volga de un Call de IBEX precio de ejercicio 10.800. El activo subyacente está a 10.736 y la volatilidad en el 26%.



Igual que una posición con Gamma positivo se benéfica de la volatilidad del activo subyacente, Volga se beneficia de la volatilidad de la volatilidad. Se puede calcular la volatilidad de la volatilidad igual que si se calculara del activo subyacente.

Vanna

Formalmente, extraída de la fórmula de Black-Scholes, al igual que hemos hecho con Volga es:


Tiene dos definiciones o interpretaciones:

  • Cambio en Vega ante variaciones en el activo subyacente: 


  • Cambio en delta ante cambios en la volatilidad implícita: 


El cambio en Vega ante cambios en el precio del activo subyacente (Spot), es la pendiente de vega. Puede ser considerado como la medición del tamaño del Skew de la posición. Un risk reversal o túnel vendido por ejemplo (compra de Put precio de ejercicio bajo y venta de Call precios de ejercicio alto) se beneficiará de caída en el activo subyacente y de un empinamiento del skew. Es positiva para caídas del activo subyacente y negativo para aumentos de éste.


Gráfico 2: Vanna de un Call de IBEX precio de ejercicio 10.800. El activo subyacente está a 10.736 y la volatilidad en el 26%.




lunes, 2 de marzo de 2015

Superficie de volatilidad

En las dos últimas entradas hemos hablado de la estructura temporal y el skew de volatilidad, de cómo reaccionan ante un "Shock" del mercado. He estado refiriéndome a dos fechas: una el 9/10/14 y otra el 12/1/15 por ser dos momentos muy diferentes. Uno en el que el mercado está en relativa tranquilidad (principios de octubre del 2014) y otro en el que está en plena reacción de diferentes acontecimientos (enero de 2015) que afectan al mercado: Rusia y su rublo, Grecia, Ucrania, etc...

Pues bien, si se unen en el mismo gráfico los dos anteriores (skew y estructura temporal), es el gráfico que denominamos superficie de volatilidad.

En el gráfico 1 se representan la superficie de volatilidad normal. Al ser "3d" cuesta un poquito de entender al principio, pero nos acostumbramos a él, no ofrece muchísima información de un sólo vistazo. Si os fijáis detenidamente, deberíais poder distinguir lo que habíamos comentaedo en anteriores entradas, el Skew de opciones a más corto plazo es más empinado que las opciones a largo plazo. Por otro lado la volatilidad de los plazos más largos es más alta, salvo para los precios de ejercicio bajos de vencimientos cercanos.

Gráfico 1: Superficie de volatilidad de normal



La superficie de volatilidad permite hacer un análisis mediante el cual podemos estimar la dinámica del cambio de la volatilidad a lo largo de los strikes y de los distintos vencimientos. Así por ejemplo, en el gráfico 2 se observa cómo en un plazo de varias semanas, la superficie de volatilidad ha variado sensiblemente.
En representado la superfice de volatilidad del 9/10/14 y la del 12/1/15 en el mismo gráfico para que podáis apreciar el movimiento que ha hecho la superficie de volatilidad. Sé que es difícil de apreciar, pero si te fijas detenidamente, te darás cuenta de que sucede lo que habíamos comentado en las anteriores dos entradas: la volatilidad a corto plazo reacciona muy fuerte, hay un movimiento muy fuerte hacia arriba y el skew se aplana levemente (los precios de ejercicio bajos son más "sticky"). La volatilidad a más largo plazo es más "sticky" y el aumento es mucho más pequeño.

Gráfico 2: modificación de la superficie de volatilidad entre el 9/10/14 (color azul) y 12/01/15 (color rojo).



Espero que os haya gustado. Os adelanto que las próximas entradas del blog serán los modelos de la dinámica de la superficie de volatilidad: Sticky strike, sticky delta, etc...