Ejemplo Numérico Sensibilidades

Hola a todos,

El otro día, a consecuencia del artículo de Vanna y Volga, recibí un comentario de Pedro Enrique Blanque Amorós diciéndome que podría hacer un "ejemplito" numérico que haría más visibles las fórmulas.... y la verdad es que me gustó mucho el comentario, yo también soy de ponerle números a las cosas para "aterrizarlas", y ya que me pongo... pues voy a hacer todas las sensibilidades.

En primer lugar un pongo una imagen de un excel que es una calculadora de opciones con todos los cálculos (Black-Scholes), por si alguno quiere replicar los ejemplos que vamos a ver a continuación. Al utilizar entorno de valoración Black-Scholes-Merton, está claro que son opciones europeas.

Delta: Mide el cambio en el precio de la opción (Prima) ante cambios en el activo subyacente.
Gamma: Mide cuánto varía Delta antes cambios en el activo subyacente.
Theta: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en el tiempo. El paso de un día.
Vega: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en la volatilidad de un 1%.
Rho: Mide cuánto varía el precio de la opción (prima) antes variaciones en los tipos de interés.
Volga: Mide cuánto varia Vega ante cambios en la volatilidad implícita.

Vanna: Mide cuánto varía Vega ante variaciones en el activo subyacente o delta ante cambios en la volatilidad implícita.

Como podéis apreciar en el cuadro anterior tenemos el activo subyacente en 100 y el precio de ejercicio es también 100. Quedan 60 días al vencimiento (0,16 años, que es lo que utiliza la fórmula), la volatilidad es del 20% y los tipos de interés en el 1,1% y dividendos están en el 1%.

Si sube el activo subyacente a 101.

La prima de un Call pasa de valer 3,259 a 3,800, es decir una diferencia de 0,54. Ya que delta es la primera derivada (pendiente) y gamma es la segunda derivada (convexidad), no sólo podemos tener en cuenta delta, ya que estaremos cometiendo un pequeño error de convexidad.
Si la prima de Call le añadimos Delta x movimiento+(Gamma x movimiento^2)/2 es decir, 3,259+(0,516x1)+(0,049x1^2)/2=3,800.
La delta pasa de valer a 100 0,516 a valer 0,564 en 101 (la diferencia son esos 0,049 aprox, ya que hay redondeos)
La gamma varía ligeramente, pero también hay cambios en el resto de sensibilidades.

Si pasa un día

La prima del Call pasa de 3,259 a 3,232 es decir un -0,027€ euros menos, que es exactamente la Theta que tenemos en la imagen superior. Habitualmente viene expresada ya en euros. Como en el caso anterior, también varían el resto de sensibilidades.

Si aumenta o disminuye la volatilidad implícita un 1%

En este caso, hace falta aplicarle la tasa de cambio. Si sube la volatilidad al 21% el precio de la opción varía de 3,259 a 3,422 cuyo cambio son los 16,245 que nos indica Vega multiplicados por 0,01 (1%).

Por otro lado, Vega varía de 16,245 a 16,243, realmente, teniendo en cuenta algunos decimales más de 16,244697 a 16,243312, es decir que ha variado -0,001384 que es precisamente Volga multiplicado por 0,01.

Delta también ha variado de 0,516 a 0,517, nuevamente si utilizamos más decimales de 0,5162347 a 0,5170082, ha variado 0,00077, que es Vanna multiplicado por 0,01

Si aumenta o disminuye los ti en 1%

En este caso, al igual que en anterior, hay que aplicar el cambio. La opción pasa de valer 3,259 a 3,34, un 0,0812 que el valor que teníamos de Rho multiplicado por 0,01.

Espero que os sirva. El artículo es un "pelín" más denso de lo que suelo hacer, pero efectivamente la única manera de aterrizar las sensibilidades es cogiendo la hoja de cálculo e ir variando parámetros y estudiar sus efectos. Por esta razón, recomiendo intentéis replicar en vuestro excel la imagen que os pongo en este artículo.

Vanna y Volga

Vamos a introducir dos sensibilidades de opciones que por ser más específicas de posiciones en volatilidad y skew, no suelen ser tan conocidas como: Delta, Gamma, Vega, Theta y Rho, pero que resultan de utilidad.

Volga y Vanna, aunque parezcan los nombres de letras griegas, en realidad no lo son, al igual que Vega que no es una letra del alfabeto griego clásico. Por eso a mi me gusta utilizar el término sensibilidades, no griegas.

Volga

Es la gamma de la volatilidad (VOLatility GAmma). Expresa los cambios en Vega ante cambios en la volatilidad implícita.

Es muy elevada para opciones que están fuera del dinero (aproximadamente Delta 10%). Ver gráfico 1.

Gráfico 1: Volga de un Call de IBEX precio de ejercicio 10.800. El activo subyacente está a 10.736 y la volatilidad en el 26%.

Igual que una posición con Gamma positivo se benéfica de la volatilidad del activo subyacente, Volga se beneficia de la volatilidad de la volatilidad. Se puede calcular la volatilidad de la volatilidad igual que si se calculara del activo subyacente.

Vanna

Formalmente, extraída de la fórmula de Black-Scholes, al igual que hemos hecho con Volga es:

Tiene dos definiciones o interpretaciones:

• Cambio en Vega ante variaciones en el activo subyacente: 

• Cambio en delta ante cambios en la volatilidad implícita: 

El cambio en Vega ante cambios en el precio del activo subyacente (Spot), es la pendiente de vega. Puede ser considerado como la medición del tamaño del Skew de la posición. Un risk reversal o túnel vendido por ejemplo (compra de Put precio de ejercicio bajo y venta de Call precios de ejercicio alto) se beneficiará de caída en el activo subyacente y de un empinamiento del skew. Es positiva para caídas del activo subyacente y negativo para aumentos de éste.

Gráfico 2: Vanna de un Call de IBEX precio de ejercicio 10.800. El activo subyacente está a 10.736 y la volatilidad en el 26%.

Superficie de volatilidad

En las dos últimas entradas hemos hablado de la estructura temporal y el skew de volatilidad, de cómo reaccionan ante un "Shock" del mercado. He estado refiriéndome a dos fechas: una el 9/10/14 y otra el 12/1/15 por ser dos momentos muy diferentes. Uno en el que el mercado está en relativa tranquilidad (principios de octubre del 2014) y otro en el que está en plena reacción de diferentes acontecimientos (enero de 2015) que afectan al mercado: Rusia y su rublo, Grecia, Ucrania, etc...

Pues bien, si se unen en el mismo gráfico los dos anteriores (skew y estructura temporal), es el gráfico que denominamos superficie de volatilidad.

En el gráfico 1 se representan la superficie de volatilidad normal. Al ser "3d" cuesta un poquito de entender al principio, pero nos acostumbramos a él, no ofrece muchísima información de un sólo vistazo. Si os fijáis detenidamente, deberíais poder distinguir lo que habíamos comentaedo en anteriores entradas, el Skew de opciones a más corto plazo es más empinado que las opciones a largo plazo. Por otro lado la volatilidad de los plazos más largos es más alta, salvo para los precios de ejercicio bajos de vencimientos cercanos.

Gráfico 1: Superficie de volatilidad de normal

La superficie de volatilidad permite hacer un análisis mediante el cual podemos estimar la dinámica del cambio de la volatilidad a lo largo de los strikes y de los distintos vencimientos. Así por ejemplo, en el gráfico 2 se observa cómo en un plazo de varias semanas, la superficie de volatilidad ha variado sensiblemente.

En representado la superfice de volatilidad del 9/10/14 y la del 12/1/15 en el mismo gráfico para que podáis apreciar el movimiento que ha hecho la superficie de volatilidad. Sé que es difícil de apreciar, pero si te fijas detenidamente, te darás cuenta de que sucede lo que habíamos comentado en las anteriores dos entradas: la volatilidad a corto plazo reacciona muy fuerte, hay un movimiento muy fuerte hacia arriba y el skew se aplana levemente (los precios de ejercicio bajos son más "sticky"). La volatilidad a más largo plazo es más "sticky" y el aumento es mucho más pequeño.

Gráfico 2: modificación de la superficie de volatilidad entre el 9/10/14 (color azul) y 12/01/15 (color rojo).

Espero que os haya gustado. Os adelanto que las próximas entradas del blog serán los modelos de la dinámica de la superficie de volatilidad: Sticky strike, sticky delta, etc...

Dinámica del SKEW ante una caída fuerte del mercado

Ya hemos comentado en alguna ocasión que el skew de volatilidad en mercados de renta variable suele ser decreciente y más empinado para volatilidades a corto plazo que a largo plazo, tal y como se puede apreciar en el gráfico 1.

Gráfico 1: Skew de volatilidad para opciones de distintos vencimientos.

Fijaros en el gráfico anterior como el Skew a 3 meses está muy empinado mientras que el Skew de opciones de vencimiento 4 años, está bastante más plano.

Cuando hay una caída fuerte en el activo subyacente, es razonable pensar en un fuerte aumento de la volatilidad realizada. Por tanto, precios de ejercicio por debajo del subyacente y opciones a largo plazo ( ver el artículo de estructura temporal) que ya tenían una volatilidad implícita más elevada, aumentarán menos que precios de ejercicio ATM y plazos más cortos. Se suele decir que opciones de precios de ejercicio bajos y vencimientos largos tienen la volatilidad “sticky” (pegajosa), es decir que cambia menos. Esto hace que el dato de Skew por si mismo no sea un indicador de riesgo muy fiable, ya que es habitual que la diferencia entre precios de ejercicios bajos y ATM suele ser más grande cuando disminuye la volatilidad implícita. Por ello es importante observar la dinámica de comportamiento del Skew.

Como sabéis, me gusta poner siempre situaciones reales, veamos un par de ejemplos. En los Gráficos 2 y 3 podemos observar este efecto.

En el gráfico 2 tenemos los skew de opciones de IBEX 35 a diferentes plazos del día 9 de octubre de 2014, en un momento de tranquilidad en el mercado. El skew de corto plazo está bastante empinado, mientras que las opciones a más largo plazo tienen menos pendiente

Gráfico 2: Skew de opciones de IBEX 35 el día 9 de octubre de 2014

En gráfico 3 tenemos los mismos gráficos de opciones de IBEX 35 pero el 12 de enero de 2015, momento bastante volátil, dónde observa que las volatilidades de todos los precios de ejercicio han aumentado, pero lo han hecho de diferente manera. Fijaros como en general hay menos pendiente (120%-80%) en todos los plazos, las que más han reaccionado han sido las de más corto plazo (3 meses y 6 meses) mientras que el Skew de opciones a más largo plazo casi no ha variado. Éstos son más “sticky”.

Gráfico 3: Skew de opciones de IBEX 35 el día 12 de enero de 2015

Estructura Temporal de la Volatilidad

Ya hemos comentado en alguna ocasión que las opciones sobre un mismo subyacente pero distinto precio de ejercicio tienen diferentes volatilidades. A la función que relaciona los diferentes precios de ejercicio y volatilidades se llama SKEW de volatilidad. Por otro lado, opciones del mismo subyacente y mismo precio de ejercicio pero de distinto vencimiento, tienen también diferentes volatilidades implícitas, es la “estructura temporal”. A la función que relaciona precios de ejercicio de distintos vencimientos con su nivel de volatilidad se le denomina “Superficie de Volatilidad”.

En relación a la estructura temporal, lo que me gustaría comentar en esta entrada es que se suelen producir movimientos más fuertes en los vencimientos cercanos que en los lejanos (esto también depende del mercado, del producto y situación). Se suele denominar a los vencimientos más alejados en argot "Sticky" (pegajosos) ya que:

• La volatilidad de un vencimiento lejano es más incierta y por tanto más estable (más tiempo para revertir a la media).
• Un aumento o disminución en la volatilidad realizada tiene efecto en las opciones a más corto plazo porque se espera que continúe en el corto plazo.
• La liquidez es mayor en los vencimientos cercanos.

Esto se puede apreciar en el siguiente gráfico donde está representada la estructura temporal de opciones de IBEX 35®, las opciones a corto plazo cambian más bruscamente de volatilidad, mientras que las de largo plazo son más estables.

Las diferentes líneas son diferentes precios de ejercicio (por moneyness). Por ejemplo, la linea de 80% es una opción un precio de ejercicio un 20% por debajo del activo subyacente.  Normalmente la serie ATM (100%) suele tener pendiente positiva y cuando los mercados caen (la volatilidades suben) y se suelen invertir.

Por poner dos casos o situaciones reales. Los dos siguientes gráficos representan dos estructuras de volatilidad en dos momentos diferentes de mercado. El primer gráfico es el 9 de octubre de 2014, un periodo en el que podemos decir que el mercado estaba en relativa calma.

El siguiente gráfico representa la estructura temporal de opciones de IBEX 35® el día 9 de octubre 2014 con un mercado en relativa calma. Se observa pendiente normal.

En el segundo gráfico se muestra la estructura temporal el 12/01/15 que era un momento en el que el mercado había sufrido un aumento brusco de volatilidad.

En el gráfico anterior, se observa perfectamente cómo la pendiente se invierte.

Volatilidad IBEX enero 2014

Hola a todos,

Este mes de enero ha sido movidito. El IBEX 35 ha subido hasta 10.525 (un 7,83%) a mediados de enero para luego volver a perder lo ganado  a finales de mes.

El comportamiento de la volatilidad ha sido muy interesante, y el estudio de ésta no solo es importante para tomar posiciones en opciones, también otorga mucha información de lo que está ocurriendo, ya que los intervinientes de los mercados de opciones suelen, ser en su mayor parte, grandes bancos de inversión.

En primer lugar, vemos en el siguiente gráfico cómo ha aumentado la volatilidad HV20 aunque todavía no ha dado tiempo a que reaccione la HV60. Como ya he comentado en anteriores ocasiones, era de esperar que el aumento de volatilidad no fuera especialmente agresivo mientras sigamos en tendencia alcista. Ha aumentado hasta niveles del 20,70% (percentil 51% de los últimos 2 años). Si no ocurre nada grave e inesperado, su recorrido al alza es limitado.

En el siguiente gráfico vemos una comparativa de la volatilidad realizada a 20 días y la implícita a 30 días. El VIBEX está en percentil 53% de los 2 últimos años.

El el siguiente gráfico vemos cuál ha sido el comportamiento del Skew de primer vencimiento durante el mes de enero. Ha tenido un claro desplazamiento paralelo hacia arriba y un ligero empinamiento hasta alcanzar el percentil 69% de los dos últimos años.

En el gráfico de la evolución del Skew apreciamos como ha aumentado desde el mes de diciembre, pero sigue teniendo recorrido.

Por otro lado, en los dos siguientes gráficos observamos como este empinamiento del Skew ha sido únicamente en los primeros vencimientos, mientras que el resto de los vencimientos siguen bastante planos, incluso apreciamos cierta demanda de Calls OTM en plazos de la segunda parte del año.

Cada uno puede tomar sus conclusiones, pero en mi opinión hay demanda de Puts OTM en plazos cortos pero los plazos largos baja mucho. Parece que hay un convencimiento de que el mercado esta corrigiendo toda la subida de la segunda mitad del 2013, pero no hay un pánico generalizado. Se le puede achacar las caídas a temas de divisa emergente, etc... o a correcciones, pero en general parece que hay tranquilidad. 

Aunque en el cortísimo plazo sigue habiendo recorrido para un aumento de volatilidad,  posibles caídas del mercado, en plazos más largos el mercado está tranquilo.

Resumen Volatilidad 2013 y perspectivas 2014

Hola a todos,

Me gustaría comenzar este resumen poniendo un gráfico de la evolución del IBEX 35 desde enero de 2012 hasta diciembre de 2013. Como podéis ver el año 2012 fue malo, pero le salvó un gran final de año. Este año 2013 ha pasado algo parecido, hemos tenido una primera mitad de año con subidas y bajadas( en junio estaba casi plano) y una segunda mitad de año sensacional.

También como podéis apreciar en el gráfico anterior, los rendimientos diarios de 2013 son sensiblemente inferiores a los del año 2012, aumentando puntualmente con las caídas del mercado. Esto se puede ver muy bien en el siguiente gráfico, donde se muestra la volatilidad a 22 días y la evolución del IBEX 35 en el mismo periodo que el gráfico anterior (ENE12-DIC13). La volatilidad de mediados de 2012 estaba en máximos de dos años (el max hist como os podéis fue finales 2008 con niveles cercanos al 80%) que es cuando había una máxima tensión con la prima de riesgo española.

Posteriormente, la volatilidad bajó mucho con la subida del mercado de finales de 2012 y con las primeras caídas del mercado aumentó. La falta de confianza en la entrada en periodo alcista hizo, en mi opinión, sobrereaccoinar al mercado ya que caídas relativamente pequeñas en corto periodo de tiempo elevan mucho la volatilidad que es lo que sucede primera parte del año 2013. Según avanza el mercado en terreno positivo la segunda parte del año 2013 y empezamos a tener más confianza en una posible recuperación, las caídas del mercado se toman por parte de los inversores como pequeños respiros  del mercado y no aumenta tanto la volatilidad. En este año 2014 si realmente se confirma este contexto alcista creo que será difícil ver volatilidades por encima del 20% (luego veréis un gráfico del S&P500 y entederéis perfectamente lo que os quiero decir)  

En el siguiente gráfico he querido comparar la volatilidad implícita de las opciones de IBEX 35 (VIBEX)  y la volatilidad histórica a 22 sesiones. El comportamiento ha sido muy parecido, si bien confirmamos que la volatilidad implícita suele estar por encima de la realizada (lo que se denomina Volatility Premium) y además es un poco más tranquila. Os recuerdo que la volatilidad implícita son expectativas de volatilidad.

Para aquellos de vosotros que sepáis más, comentaros tan sólo que este VIBEX que me he fabricado no se parece al VIX ni VSTOXX, ya que no recoge información del skew, utilizo exclusivamente la volatilidad ATM e interpolo las varianzas primer y segundo vencimiento para tener siempre la volatilidad a 30 días reales (equivalentes a 22 sesiones de mercado aprox.)  

En el siguiente gráfico os pongo la información de SKEW de volatilidad de primer vencimiento cuya información siempre es muy importante. El SKEW está graficado respecto del eje de la derecha, y está puesta la diferencia entre la volatilidad de la PUT moneyness 90% (un precio de ejercicio u 10% por debajo del nivel del activo subyacente, llamado nivel ATM) y la CALL moneyness 110% (un precio de ejercicio un 10% superior al activo subyacente). Mayor diferencia indica que hay una pendiente más inclinada y eso suele significar miedo a posibles caídas. Si no sabes de qué estoy hablando vete a la sección de "Cálculos de volatilidad" 

Como podéis observar, hemos acabado el año con un skew bastante plano, después de que en octubre y noviembre del año 2013 se inclinara bastante, esperando un final de año que recogiera beneficios, como así ha sido en parte.

El siguiente gráfico, a modo de resumen, os pongo una comparativa de volatilidades a diferentes plazos y la volatilidad implícita.

El gráfico anterior lo acompaño con una tabla con el cono de volatilidad (diferentes percentiles). En todos los plazos el último dato está por debajo de la mediana, esto indica que la volatilidades están bajas y que por tanto tenderán a subir, si bien es cierto que hemos dicho que será difícil ver volatilidades por encima del 20% (y por supuesto, salvo que pase algo muy grave, no veremos volatilidades el 50% en mucho tiempo)

Para terminar, podemos ver qué ha pasado tanto en EuroStoxx 50 y S&P500.

Todo lo comentado anteriormente para IBEX 35 puede servir para explicar el comportamiento de la volatilidad de EuroStoxx: volatilidades han tocado mínimos y están aumentando, pero será difícil ver esa volatilidad por encima del 20-25% si el mercado es alcista en este año 2014.

El comportamiento del S&P500 en el año 2013 muestra lo que os quiero decir, el año 2013 ha sido completamente alcista (a diferencia de IBEX y EuroStoxx que han tenido una primera parte de 2013 un poco irregular). Fijaros como la volatilidad histórica 22s de S&P500 en 2013 ha variado en un rango del 7%-18%. 

Espero que os haya servido, pronto escribiremos sobre este comienzo de año....